Trong toán học, có nhiều chứng minh sai lầm mà người giải, mặc dầu đã kiểm soát kỹ càng, vẫn không khám phá ra và nghĩ là mình đã làm đúng. Những loại sai lầm nầy thường thường thuộc loại được gọi là “nguỵ biện toán học”. “Nguỵ biện” ở đây không có nghĩa thông thường là “cải bừa, cải cối”, “làm đại cho xong”, “làm sai”, mà chỉ đơn giản có nghĩa là “tưởng rằng đúng nhưng thực sự là sai”.

Nguỵ biện toán học dẩn đến những kết quả vô lý nên thường được dùng trong nhiều bài toán vui để giải trí.

Toán học có nhiều cái bẩy dễ dẩn đến nguỵ biện, như sau:

1)   Chia một số cho zero.

Chia một số cho 0 là một bài toán không xác định. Trong toán học chỉ có trường hợp khi mẫu số tiến tới 0 thì phân số tiến tới vô cực.
Phần lớn mọi người  đều biết  điều cấm kỵ nầy, nhưng vẫn thường phạm sai lầm khi số chia hay mẫu số không phải là những con số mà là những biểu thức đại số.

Một thí dụ thường được nhắc đến là “Chứng minh 1 = 2” , như sau:
Xét 2 số a và b khác 0 và bằng nhau:    a  =   b
Nhân 2 vế cho a:                    a² = ab
Trừ 2 vế cho b²:                     a² – b²  =  ab – b²
Đặt thừa số chung 2 vế:        (a + b)(a – b)  =  b(a – b)
Chia 2 vế cho a – b:               a + b  =  b
Cho a = b = 1:                       2  =  1

Khi chia 2 vế cho a – b, ta đã phạm sai lầm vì a – b = 0

2)   Ngụy biện trong hình học

Loại nầy thường xảy ra khi chứng minh dựa trên một hình vẽ sai.
Sau đây là 2 thí dụ:

a)   Chứng minh “Mọi góc đều bằng 0”.

Cho hình chữ nhật ABCD. Từ đỉnh C, vẽ đoạn CE = CD và góc DCE khác 0.
Hai đường trung trực của AD tại F, và AE tại G, cắt nhau tại H. Nối H với A, B, C, D và E. FH là trung trực của AD nên cũng là trung trực của BC.

Theo tính chất của đường trung trực, ta có:
HA = HD,
HB = HC,
HA = HE
=>  HD = HE
Ba tam giác HAB, HDC, HEC  có các cạnh bằnh nhau từng đôi nên bằng nhau. Suy ra 3 góc tương ứng  ABH, DCH và ECH  bằng nhau.

=>  Góc DCE = 0

Chứng minh trên nguỵ biện vì lý luận trên một hình vẽ sai. Nếu vẽ đúng thì tam giác HCE phải đối xứng với tam giác HCD qua đường HC.

b)  Chứng minh “Mọi tam giác đều là tam giác cân”.

Xét tam giác ABC bất kỳ. Phân giác góc A và trung trực tại  của cạnh BC cắt nhau tại O. Vẽ OE thẳng góc với AB tại E và OF thẳng góc với AC tại F.
Hai tam giác vuông AOE và AOF  bằng nhau vì có cùng cạnh huyền AO và 2 góc nhọn OAE và OAF bằng nhau.
=>  AE = AF,  OE = OF
Hai tam giác vuông OBE và OCF  bằng nhau vì có
OE = OF,  OB = OC  =>  EB = FC
Suy ra:  AB = AE + EB = AF + FC = AC

=>  Tam giác ABC cân tại A

Chứng minh trên nguỵ biện vì lý luận dựa trên một hình vẽ sai. Nếu vẽ đúng thì điểm O phải nằm ngoài tam giác ABC và nếu AB < AC thì điểm E nằm ngoài cạnh AB còn điểm F nằm trong cạnh AC.

3)   Ngụy biện trong lý luận

Định lý trong toán học thường được chứng minh bằng lý luận suy diễn hơn là quy nạp hay từ kinh nghiệm. Định lý phải đúng trong mọi trường hợp và có thể dùng để suy diễn đến những tính chất khác.
Ở đây, chúng ta chỉ bàn đến một cách chứng minh rất dễ phạm phải nguỵ biện là phương pháp quy nạp (mathematical induction).

Trong phương pháp quy nạp, từ một tính chất nền tảng được kiểm nghiệm lả đúng, phương pháp sử dụng quy luật về quy nạp để suy ra tính chất đó cũng đúng trong trường hợp tổng quát.

Thí dụ:  Xét tính chất P(n) tuỳ thuộc số nguyên dương n. Muốn chứng minh tính chất P(n) đúng với mọi số n, phương pháp quy nạp chứng minh như sau:

Nếu
(i)   P(1) đúng, tức là tính chất P(n) đúng khi n = 1
(ii)   P(n + 1) đúng khi P(n) đúng, tức là P(n) đúng
=> P(n+1) đúng

thì tính chất P(n) đúng với mọi trị số của n.
Nguỵ biện có thể xảy ra trong phần (i) hay trong phần (ii).

Bài viết “Tất cả dân Úc đều cùng tuổi” trình bày một ngụy biện khi dùng phương pháp quy
nạp.

Gọi S(N) là một nhóm (hay tập hợp) bất kỳ gồm N người Úc. Ta sẽ chứng minh rằng, dù N thế nào, mọi người Úc trong nhóm S(N) đều có cùng tuổi. Ta tạm gọi tính chất nầy là tính chất A.

1)     S(1) là nhóm gồm chỉ 1 người Úc, lẽ dỉ nhiên, cùng tuổi. Vậy, tính chất A đúng khi N = 1

2)     Giả sử tính chất A đúng cho đến khi N = K, tức là mọi người Úc trong nhóm S(K) với K người Úc đều có cùng tuổi.

3)     Thêm 1 người Úc bất kỳ vào nhóm S(K), ta có nhóm mới G(K+1) với K+1 người Úc. Ta phải chứng minh rằng tính chất A cũng đúng với nhóm G(K+1), tức là mọi người Úc trong nhóm G đều cùng tuổi.

4)     Để chứng minh rằng mọi người Úc trong nhóm G đều cùng tuổi, ta có thể chứng minh rằng 2 người Úc bất kỳ P và Q nào đó trong nhóm G cũng đều cùng tuổi.
Gọi R là 1 người Úc bất kỳ trong nhóm G, khác P và Q.

5)     Xét tất cả những người Úc trong nhóm G, trừ Q. Những người nầy hợp thành một nhóm có K người Úc. Theo giả thiết 2 thì mọi người trong nhóm nầy đều có cùng tuổi. Vậy 2 người Úc P và R có cùng tuổi.

6)     Xét tất cả những người Úc trong nhóm G, trừ P. Những người nầy hợp thành một nhóm có K người Úc. Theo giả thiết 2 thì mọi người trong nhóm nầy đều có cùng tuổi. Vậy 2 người Úc Q và R có cùng tuổi.

7)     Trong nhóm G, vì P và Q đều cùng tuổi với R nên P và Q cũng cùng tuổi.

8)     Hai người bất kỳ trong nhóm G đều cùng tuổi, vậy mọi người trong nhóm G đều cùng tuổi.

9)     Thêm 1 người Úc vào một nhóm người Úc cùng tuổi, ta có một nhóm mới người Úc cũng cùng tuổi. Bằng cách tiếp tục thêm 1 người vào một nhóm người Úc cùng tuổi đã có sẵn cho đến khi toàn dân Úc đều được thêm vào, ta sẽ chứng minh được kết luận ‘Tất cả dân Úc đều cùng tuổi’!

Lẽ dỉ nhiên kết luận trên sai và phải có một ngụy biện đâu đó trong phần chứng minh. Trước khi đọc tiếp, xin độc giả bỏ ra vài phút để tự mình tìm ra một lời giải thích cho riêng mình.

Ngụy biện đã xảy ra trong đoạn 4: xét 2 người Úc bất kỳ P và Q trong nhóm G và R là 1 người Úc khác P và Q cũng trong nhóm G. Vậy là nhóm G phải có ít nhứt 3 người nhưng khi K = 1 thì nhóm G(K+1) chỉ có 2 người! Tìm đâu ra người thứ ba? Sai lầm về lý luận nầy khiến cho kết luận ‘Tất cả dân Úc đều cùng tuổi’ không đúng nữa!

Tác giả mong rằng bài viết nầy giúp cho độc giả có được vài phút thư giản!